Родился 4 (17) декабря 1906 года в деревне Хотилицы ныне село Андреапольского района Тверской области. Русский. Детство провёл в городе Торопец (Тверская область).
В 1926 году окончил Московский политехнический техникум. До 1930 года работал геодезистом, прорабом на строительстве дорог в Казахстане. В 1933 году окончил Среднеазиатский дорожный институт в Ташкенте. Руководил работами по строительству дорог на Курдайском перевале, на участке Мускол–Маргат дороги Ош–Памир–Хорог.
В 1936-1954 годах служил в системе НКВД-МВД СССР, инженер-подполковник. С 1936 года – инженер, главный инженер строительства автодороги Фрунзе–Ош. В 1942-1948 – главный инженер строительства автодороги Москва–Куйбышев.
В 1948-1952 – начальник Красноармейского строительного района Управления строительства Волго-Донского судоходного канала.
За особо выдающиеся заслуги и самоотверженную работу по строительству и вводу в эксплуатацию Волго-Донского судоходного канала Указом Президиума Верховного Совета СССР от 19 сентября 1952 года Александрову Александру Петровичу присвоено звание Героя Социалистического Труда с вручением ордена Ленина и золотой медали «Серп и Молот».
В 1952-1953 – начальник Управления строительства Цимлянской ГЭС (введена в строй в июле 1952 года) и оросительных систем Ростовской области. В 1953-1956 – начальник Управления строительства правого берега «Куйбышевгидростроя». Активно участвовал в строительстве Куйбышевской (ныне – Жигулёвской) ГЭС, введённой в строй в декабре 1955 года. В 1956-1962 – начальник управления «Сталинградгидростроя». Руководил строительством Волгоградский (ныне – Волжской) ГЭС, введённой в строй в 1961 году.
За самоотверженный труд и умелое руководство сооружением Сталинградского гидроузла Указом Президиума Верховного Совета СССР от 9 сентября 1961 года Александров Александр Петрович награждён второй золотой медалью «Серп и Молот».
В 1962-1966 – главный советский эксперт по сооружению высотной Асуанской плотины в Египте. Её первая очередь была сдана в мае 1964 года, в ноябре 1967 года был получен первый электрический ток.
В 1966-1978 – заместитель министра энергетики и электрификации СССР. Был постоянным уполномоченным Минэнерго СССР на строительстве автозавода в Тольятти (1967-1970), первой очереди КамАЗа (1970-1976), Оренбургского газоперерабатывающего завода. Участвовал в строительстве плотины в Сирии, в восстановлении гидроэлектростанции во Вьетнаме. С 1978 года – заместитель председателя Научно-технического совета Минэнерго СССР и главный редактор журнала «Гидротехническое строительство».
Жил в Москве. Умер 8 марта 1981 года. Похоронен на Новодевичьем кладбище в Москве.
Бронзовый бюст был установлен в родном селе (украден в 2006 году). Его именем названа улица в городе Волжский Волгоградской области. В Москве на доме, в котором он жил (улица Большая Бронная, дом 2/6), и на шлюзе №1 Волго-Донского судоходного канала установлены мемориальные доски.