Из потомственных дворян. Одним из предков был новгородский боярин Иван Овин. При Иване III представители этого рода были выселены из Новгорода и вынуждены поселиться неподалёку от Рязани. В 1619 год Осип Андреевич Авинов получил в качестве имения деревню Василёво, где и родился в 1786 году его потомок Александр.
Родился 18 марта 1786 г. в наследственном селе Василево Касимовского уезда Рязанской губернии, происходил из дворян и был сыном кавалерийского подпоручика Павла Ивановича Авинова. В 1796 г. дядей, вице-адмиралом Н. С. Скуратовым, был определён в Морской кадетский корпус. С 1801 г., в звании гардемарина, Авинов сделал три кампании по Балтийскому морю, где плавал в Копенгаген и Любек. Затем, в 1803 г., послан для практического изучения морского дела на судах английского флота (с М. П. Лазаревым и М. Н. Станюковичем).
С 10 июня 1804 г. он плавал мичманом на английских судах в Северном Ледовитом и Атлантическом океанах и 9 октября 1805 г. участвовал в Трафальгарском бою, под начальством Нельсона; после этого боя попал в плен к испанцам и провел несколько месяцев на острове Пальме. 9 октября 1806 г., служа опять на английской эскадре, находился при бомбардировании Булони.
С 1808 года, возвратившись в Россию, три кампании крейсировал в Балтийском море и затем, с мая 1812 г. по сентябрь 1814 г., в чине лейтенанта находился в плавании у берегов Голландии и Англии. В феврале 1814 г., находясь в сражении при Флиссенгене, Авинов стоял в устье Шельды, для защиты бывших в Голландии русских войск. 1815 и 1816 гг. он провёл в крейсерстве, а в 1817 г. перевозил десантные войска из Кале в Россию. 26 ноября 1816 года за беспорочную выслугу 18 шестимесячных морских кампаний он был награждён орденом св. Георгия 4-й степени (№ 3295 по списку Григоровича—Степанова).
4 июня 1819 г. Авинов отправился в кругосветное плавание старшим офицером на шлюпе «Открытие» под начальством капитан-лейтенанта М. Н. Васильева. Целью экспедиции было описание северных берегов Америки и отыскание от них проходов в Атлантический океан. Суда экспедиции, из Камчатки, через Берингов пролив, прошли Ледовитым морем до 72° северной широты, где встретились сплошные льды, принудившие мореплавателей воротиться назад.
Для второй кампании в Ново-Архангельске построен был бот, вверенный Авинову и Галлу, которым поручено было описать американский берег между мысами Невенгам и Дерби. На боте плавание в бурном море представляло необычайные трудности, так как волнение заливало палубу, останавливая работу на целые дни. Несмотря на все это, Авинов в два месяца прошёл по широте весь Тихий океан, хотя и не доходил до мыса Дерби, окончив кампанию прибытием в Петропавловский порт, откуда последовало возвращение в Кронштадт (19 августа 1822 г.). За эту экспедицию Авинов получил пенсию на службе и чин капитан-лейтенанта; один из открытых им мысов (60° северной широты и 166°30' восточной долготы) назван его именем.
С 1823 по 1827 г. он находился в Кронштадте и, в чине капитана 2-го ранга (произведён в конце 1822 г.) командуя 84-пушечным кораблём «Гангут», поступил в эскадру контр-адмирала графа Л. П. Гейдена, отплывшую в Средиземное море. Гейден, как известно, прибыл к Наварину, когда его уже блокировала английская эскадра Э. Кодрингтона. К 1 октября прибыла и французская эскадра контр-адмирала де Риньи. Соединённый флот решился войти в Наваринскую бухту и заставить турок ничего не предпринимать против греков.
8 октября 1827 г. корабли двинулись по диспозиции в бухту, но были встречены огнём с турецких судов и батарей. Это и вызвало общую канонаду турецкого флота, числом орудий превосходившего союзников. Перевес численности орудий, однако, не помог и после четырёхчасового ожесточённого боя, турецко-египетский флот был окончательно истреблен. В разгаре боя на корабль «Гангут» пущен был турками громадный зажженный брандер. Авинов успел огнём всей своей артиллерии потопить его, не допустив до корабля. Затем, пущенный неприятелем на союзную эскадру египетский адмиральский фрегат «Лагерьер» врезался в «Гангут». В этом последнем случае, дабы предупредить гибель от взрыва остальных близстоящих союзных судов, рискуя каждый момент сам взлететь на воздух, Авинов снялся с якоря и, выйдя на свободную воду, принялся за тушение пожара и освобождение своего корабля от горевшего неприятельского фрегата. Прорубив ему дно, он потопил фрегат.
За заслуги в Наваринском бою Авинов был произведён в капитаны 1-го ранга и награждён орденом св. Владимира 3-й степени и получил соответствующие награды от французского (орден св. Людовика), английского (орден Бани) и греческого (Командорский крест) королей; корабль его потребовал очень сложных работ для исправления, так что, прозимовав на Мальте, вернулся в Кронштадт только 22 июля 1828 г.
В 1829 году Авинов был назначен командиром нового 110-пушечного корабля «Император Пётр I», но вместо плавания на нём Авинов был послан в Америку, для покупки корвета с новейшими приспособлениями и для ознакомления с усовершенствованной системой судостроения. Из этой командировки Авинов вернулся контр-адмиралом (произведён 7 октября 1830 года) и, получив за исполнение поручения Высочайшее благоволение (5 февраля 1831 г.), назначен командиром 3-й бригады 4-й флотской дивизии, а 16 января 1834 г. тотчас по назначении М. П. Лазарева главным командиром Черноморского флота — начальником штаба Черноморского флота. В 1832 году награждён орденом Святого Станислава 1-й степени.
В 1836—1837 годах Авинов крейсировал по Чёрному морю, командуя 2-й практической эскадрой, 6 декабря 1837 года произведён в чин вице-адмирала, с назначением командиром Севастопольского порта. По вооружению его и обращению в первоклассный порт, состоя председателем комитетов о построении Адмиралтейства и сухих доков, он оказывался деятельным сотрудником М. П. Лазарева. В 1837 году награждён орденом Святого Владимира 2-й степени.
С 1841 г. Авинов был военным губернатором Севастополя. Кипучая деятельность следующих восьми лет прекратилась болезнью Авинова, начавшейся с известия о смерти сына, утонувшего в Пирее. В 1845 году он был награждён орденом Белого орла.
В 1849 г. за болезнью он должен был просить о назначении на должность, более соответствующую его здоровью. Авинов высочайшим приказом от 3 апреля 1849 г. был назначен членом Адмиралтейств-совета, а 2 октября 1852 г. произведён в адмиралы. Здоровье его в Санкт-Петербурге, казалось, улучшилось и ко дню юбилея — 50-летнего служения в офицерских чинах (10 июня 1854 г.) — он был вполне здоров, но с первых чисел следующего сентября почувствовал расстройство здоровья вследствие простуды, и 30 сентября его не стало. Похоронен в Новодевичьем монастыре.