Родился в семье дворянина — горного инженера.
В 1917 г. окончил гимназию, работал техником на железной дороге. В 1919-1921 гг. служил в Красной Армии, был бойцом роты связи на Туркестанском фронте. В 1921 г. поступил на электромеханический факультет Петроградского политехнического института. В 1924 г. переведен в электротехнический институт, который окончил в 1927 г. по специальности «Радиотехника». Учёбу совмещал с работой в Центральной радиолаборатории монтером, лаборантом, инженером. Занимался исследованиями в области коротких волн.
С 1928 г. работал в Ленинградском электрофизическом институте АН СССР. В 1929—1935 гг. был доцентом по кафедре радиотехники на физико-механическом факультете Ленинградского политехнического института, преподавал в других вузах.
В 1932—1938 гг. работал в Научно-исследовательском морском институте связи и телемеханики. Основные научные труды А. Н. Щукина посвящены распространению электромагнитных колебаний в различных средах, процессам ионизации земной атмосферы и их влиянию на распространение радиоволн, а также вопросам радиосвязи, автоматического управления и приложения теории вероятности в этих областях.
С 1935 г. занимался педагогической деятельностью и в Военно-морской академии. В 1939 г. военинженеру 1 ранга А. Н. Щукину была присуждена ученая степень доктора технических наук без защиты диссертации, кроме того, решением ВАК он был утвержден в звании профессора. С 1940 г. он — начальник кафедры в академии, ему присвоили воинское звание инженер-полковник, он был принят в ряды ВКП(б). В 1940 г. создал курс «Распространение радиоволн», сыгравший большую роль в подготовке радиоспециалистов.
В годы Великой Отечественной войны вместе с коллективом академии находился в эвакуации в Астрахани, затем в Самарканде. Возглавляя кафедру «Радиотехнические средства связи и наблюдения», А. Н. Щукин подготовил научный труд «Помехоустойчивость радиоприемников», имевший большое значение для организации радиосвязи.
После возвращения в Ленинград продолжал работать в Военно-морской академии, а с 1945 г. заведовал кафедрой радиотехники в Ленинградском политехническом институте. В 1946 г. избран членом-корреспондентом, а в 1953 г. — действительным членом АН СССР.
Работал заместителем начальника Главного управления Министерства ВС СССР. В 1962 г. ему было присвоено воинское звание генерал-лейтенант-инженер. В 1965 г. назначен заместителем председателя, а в 1969 г. — председателем Научного совета АН СССР.
Бронзовый бюст А. Н. Щукина установлен на Аллее Героев в Московском парке Победы (Санкт-Петербург).