Александр Николаевич родился 16 (29) мая 1900 года в Чебоксарах в русской семье.
В 1918 году вступил в ряды Красной Армии, в её составе принимал участие в Гражданской войне.
В период с 1920 по 1938 год закончил несколько военных учебных учреждений: Высшую военную школу дислокации (1920), Высшую военную школу связи (1924), Военную академию имени М. В. Фрунзе (1931), Военную академию Генерального штаба (1938).
С 1924 года занимал должности командира взвода, роты, батальона, а с 1931 года — начальник штаба, командир полка связи, затем начальник связи и начальник оперативного отдела штаба стрелкового корпуса. В 1938 году стал преподавателем в Военной академии Генерального штаба.
С начала Великой Отечественной войны полковник Боголюбов занимал должность начальника оперативного отдела штаба Резервного фронта, а в октябре 1941 года он был назначен начальником штаба 43-й армии.
В августе 1942 года генерал-майор Боголюбов был переведён на должность заместителя начальника оперативного управления Генерального штаба, а в сентябре 1942 года его снова назначили начальником штаба 43-й армии.
В декабре 1942 года Александр Николаевич стал 1-м заместителем начальника оперативного управления Генерального штаба, после чего он был поочерёдно начальником штаба следующих фронтов: Северо-Западного (с марта по 11 ноября 1943 года), 1-го Украинского (с 11 ноября 1943 года по 24 апреля 1944 года) и 2-го Белорусского (с 5 мая 1944 года до июня 1945 года).
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 29 мая 1945 года генерал-полковник Боголюбов Александр Николаевич удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 5544).
В июне 1945 года Александр Николаевич был назначен на должность начальника штаба Северной группы войск, а с октября 1945 года до августа 1950 года был начальником оперативно-тактического цикла, начальником кафедры и заместителем начальника Военной академии имени М. В. Фрунзе, с марта 1951 года до августа 1953 года — помощником главнокомандующего войсками Дальнего Востока, с сентября 1953 года по октябрь 1955 года — заместителем начальника Главного управления боевой и физической подготовки Сухопутных войск. В октябре 1955 года генерал-полковник Боголюбов ушёл в запас.
Александр Николаевич Боголюбов умер 28 февраля 1956 года в Москве и был похоронен на Новодевичьем кладбище.