А. Н. Бахтин родился 4 июня 1894 года в селе Малые Бобрики Малоархангельского уезда (сейчас — Глазуновский район) Орловской губернии. По праву рождения являлся столбовым (потомственным) дворянином. С 10 лет Бахтин был отдан в Орловский кадетский корпус (основателем этого учебного заведения прадед А. Н. Бахтина.
Обучение Бахтин продолжил в Санкт-Петербурге: в 1914 году он окончил Санкт-Петербургский Морской корпус, а в 1916 году — подводный класс.
Во время Первой мировой войны служил на Балтийском флоте — на подводных лодках «Кайман» и «Волк». За боевые походы получил награды:
После революции молодой офицер сделал выбор в пользу Советской власти и продолжил службу в рядах рабоче-крестьянского Красного флота. 31 августа 1919 года подводная лодка «Пантера» под командованием А. Н. Бахтина потопила английский эскадренный миноносец «Виттория» в Копорской губе Финского залива. Это стало первым серьезным успехом советского подводного флота, за этот подвиг А. Н. Бахтин был награждён орденом Боевого Красного Знамени (первым из подводников).
В последующие годы он активно трудился в области подводного флота: служил командиром дивизионов подводных лодок на Балтике, на Черном море, также преподавал в Морской академии, на специальных курсах командного состава военно-морских сил РККА, одновременно он печатался в газетах и журналах, участвовал в возрождении Красного Флота. В 1926 году окончил Военно-Морскую академию.
После окончания академии уволен в запас. Через некоторое время А. Н. Бахтин был арестован. Осуждён по статье 58 сроком на 5 лет и лишён ордена Красного Знамени. Наказание отбывал в лагере на Соловецких островах, в 1927 году лагерь был заменён ссылкой. В 1929 году был освобождён досрочно, но из ссылки в Ленинград он вернулся уже больным.
Он умер в 1931 году и был похоронен на Смоленском кладбище. А. Н. Бахтин посмертно реабилитирован в 1956 году. К 100-летию подводного флота Правительство Санкт-Петербурга приняло решение об установке мемориальной доски на доме, где с 1919 по 1931 год жил этот человек.
20 октября 2007 года на Смоленском Православном кладбище состоялось открытие памятника Александру Николаевичу Бахтину на его могиле. Памятник создан в рамках Губернаторской Программы «100-летие Подводного флота России в СПб» по инициативе Санкт-Петербургского Клуба моряков-подводников и семьи А. Н. Бахтина. Автором памятника стал архитектор Геннадий Пейчев.
Дочь и сын А. Н. Бахтина умерли в 1942 году в блокадном Ленинграде, его жена Ольга Петровна скончалась в 1963 году. Семья Бахтиных проживает в Санкт-Петербурге с 1919 года на Васильевском острове.