Любовь к футболу привил отец. В футбол начал играть с 6 лет. До 16 лет играл в Армавире за местное «Торпедо», после чего поехал на просмотр в Ростов-на-Дону, где базировался «Ростсельмаш». В «Ростельмаше» с 2000 по 2003 годы поэтапно прошёл через третью команду, дубль и лишь с 2003 года стал попадать в заявку клуба на матчи премьер-лиги. 17 августа 2003 года в 21 туре российской премьер-лиги, в котором «Ростов» принимал на своём поле действующего чемпиона России московский «Локомотив», состоялся дебют в матчах чемпионата, и в игре, завершившийся вничью (1:1), он вышел на замену на 75-й минуте матча. В первом сезоне сыграл 4 игры и забил один мяч. Но в следующем сезоне произвел настоящий фурор, когда, выходя на замену, в нескольких матчах забивал решающие голы. В сезоне 2005 года, после того, как летом «Ростов» приобрел двух нападающих московского «Локомотива» — Максима Бузникина и Михаила Ашветия, вовсе перестал попадать в основной состав. После приобретения в начале 2006 года «Ростовом» форварда сборной Малави Исо Каньенды, стало ясно, что и в новом сезоне Алхазову уготована роль запасного игрока, ведь в клубе Сергея Балахнина кроме Алхазова играли ещё три форварда высого класса, помимо Максима Бузникина и Исо Каньенды это — Дмитрий Бурмистров, к тому же в клубе был и атакующий уругвайский полузащитник Омар Перес, который часто выполняет роль нападающего. Из десяти контрольных матчей, которые «Ростов» провёл на предсезонных сборах, готовясь к сезону 2006 года, именно эти 4 футболиста в различных сочетаниях составляли атакующую линию клуба, принял участвовал в восьми матчах, и во всех матчах выходил на замену во втором тайме. В марте 2006 года перешёл на правах аренды в нижегородский «Спартак», который впервые в своей истории принял участие в чемпионате страны в первом дивизионе. По мнению руководства «Спартака», Александр способен укрепить позиции нападения в клубе.. За «Спартак» он сыграл 37 матчей, забил 8 голов. В январе 2007 года находился на просмотре в калининградской «Балтике» , но сезон начал в «КАМАЗе» из Набережных Челнов и в первом же туре в матче против «Спартак-МЖК» из Рязани (5:2) отметился дублем . Следующий сезон провёл неудачно, его иркутская «Звезда» даже не доиграла сезон. В том сезоне за иркутян забивал регулярно, в частности, он сделал хет-трик в матче против барнаульского «Динамо».. В 2009 году снова вернулся в Набережные Челны. В начале 2010 года был на просмотре во владикавказской Алании, но в итоге оказался в Самаре. В «Крыльях Советов» дебютировал в матче 4-го тура против грозненского «Терека». В августе 2010 года «Крылья Советов» расторгли контракт с Алхазовым. Официальный сайт «Крыльев Советов» сообщил, что «в статусе свободных агентов им будет проще найти для себя подходящие варианты трудоустройства» (речь шла, помимо Алхазова, о семи футболистах молодёжного состава, с которыми клуб также расторг контракты). В середине августа 2010 года в статусе свободного агента заключил контракт с владикавказской «Аланией». Однако по информации официального сайта «Алании», контракт всё же принадлежал команде из Самары, а по окончанию сезона вернулся в расположение «Крыльев Советов». 31 марта 2011 года подписал контракт с «Лучом-Энергией».
В Премьер-Лиге провел 39 игр, забил 6 мячей.
В феврале 2004 года был приглашён в молодежную сборную России. В итоге отыграл за «молодежку» 4 матча, выходя на поле в матчах против молодёжных сборных Румынии, Марокко, Норвегии и Китая.