Родился в семье врача и учительницы. Окончил филологический факультет МГУ (1968). Студентом в 1965 году участвовал в группе «СМОГ».
Первый роман «Чужие письма» написал в 1968 и показал рукопись своему университетскому учителю Владимиру Турбину, который посоветовал Морозову обратиться в журнал «Новый мир» и даже написал рекомендацию заместителю главного редактора Владимиру Лакшину. Но журнал отверг роман, и напечатать его удалось лишь в 1997 году. Морозов получил за него премию «Русский Букер».