Александр Александрович Калягин родился 25 мая 1942 года в городе Малмыж Кировской области в семье декана исторического факультета Александра Георгиевича Калягина и преподавателя французского языка Юлии Мироновны Зайдеман. Отец умер 17 июня 1942 года, менее чем через месяц после рождения сына, и мать воспитывала его одна. В 1959 году окончил медицинское училище по специальности «акушер». Работал фельдшером на «скорой помощи» в 50-й горбольнице Тимирязевского района в течение двух лет.
В 1965 году окончил театральное училище им. Б. Щукина и работал в Театре на Таганке. В 1967 году Калягин перешёл в драматический театр им. М. Н. Ермоловой. В 1970 году ушёл в «Современник», с 1971 года работает во МХАТе.
В кино снимается с 1967 года, наиболее известная роль — Бабс Баберлей (донна Роза д’Альвадорец) в фильме 1975 года "Здравствуйте, я ваша тётя!".
С 1993 года — руководитель театра «Et Cetera». В сентябре 1996 года театр, до того не имевший своей сценической площадки, получил свою постоянную сцену в одном из зданий на Новом Арбате. Параллельно Александр Калягин начал лоббировать идею строительства для театра нового здания. В 2005 году здание было построено по проекту архитектора А. В. Бокова. Разработавший конструкцию здания архитектор А. Великанов обвинил А. Калягина в безвкусии и отказался от своего авторства в связи с искажением первоначального замысла.. Архитектурный критик Г. Ревзин сравнил здание театра со «студенческой работой» и «цирком шапито».
Согласно воспоминаниям Ю. Ч. Кима, в 1970-е годы хранил у себя архив «Хроники текущих событий».
В 2003 году вступил в «Единую Россию».
28 июня 2005 года подписал открытое письмо «деятелей культуры», опубликованное в «Известиях», с осуждением политических оценок в отношении приговора суда по делу ЮКОСа Обращение деятелей культуры, науки, представителей общественности в связи с приговором, вынесенным бывшим руководителям НК «ЮКОС». «Письмо пятидесяти» появилось в пику другому письму, в котором другие деятели культуры потребовали признать Михаила Ходорковского политзаключённым. В 2011 году заявил, что не жалеет о том, что в 2005 году поставил свою подпись под данным письмом.
6 февраля 2012 года был официально зарегистрирован как доверенное лицо кандидата в Президенты РФ и действующего премьер-министра Владимира Путина.
В октябре 1996 года Калягин был избран председателем Союза театральных деятелей РФ.
Во время обсуждения планов реконструкции Дома ветеранов сцены в 2006 году разгорелся скандал, связанный с намерениями председателя Союза театральных деятелей А. Калягина продать часть территории девелопперской компании Система-Галс и построить на территории памятника федерального значения жилой дом. Соглашению СТД и Ситема-Галс воспротивились ветераны сцены и ряд театральных деятелей. Ситуация дошла до Президента В. В. Путина, распорядившегося разобраться в конфликте и пообещавшего выделить средства на ремонт Дома ветеранов из бюджета.
В результате вмешательства Президента Система-Галс отказалась от планов строительства жилого дома, безвозмездно перечислив Союзу театральных деятелей, в чьём ведении находится Дом ветеранов, на проведение ремонта 5 миллионов долларов (132 миллиона рублей). Губернатор Санкт-Петербурга В. И. Матвиенко предлагала передать Дом на городской баланс, однако А. А. Калягин высказался против этого, так как, по его мнению, в таком случае Дом ветеранов сцены потеряет свое творческое лицо и станет просто городским учреждением. Калягин счёл одну из многочисленных публикаций прессы оскорбительной для его чести и достоинства, оценив ущерб в полмиллиона рублей. Однако суд уменьшил эти требования, взыскав с «Петербургского театрального журнала» 1 рубль, а у главного редактора журнала Марины Дмитриевской 1 тысячу рублей.
Несмотря на выделение денежных средств на ремонт Дома ещё в 2006 году, работы по состоянию на весну 2010 года начаты не были. По информации директора Дома ветеранов сцены Александра Белокобыльского, Союз театральных деятелей уже потратил половину из указанных средств, но неоднократные обращения по этому поводу в прокуратуру и ОБЭП результатов не дали. В декабре 2010 года здание Дома ветеранов сцены внесено в «чёрный список» МЧС по пожарной безопасности.