Православный. Из дворян Новгородской губернии. Окончил гимназию в Вологде, юридический факультет Петербургского университета (1898). В 1899 году сдал экзамены на офицерский чин при Павловском военном училище.
Служил в лейб-гвардии Московском полку. Поручик (ст. 09.08.1903).
Участник русско-японской войны. В 1905 году окончил Николаевскую Академию Генерального штаба по первому разряду.
Штабс-Капитан гвардии с переименованием в Капитаны ГШ (ст. 28.05.1905). Цензовое командование ротой отбывал в лейб-гвардии Московском полку (15.11.1905-24.11.1907).
С 28 ноября 1907 — помощник ст. адъютанта штаба войск Гвардии и Санкт-Петербургского военного округа. С 8 октября 1911 — штатный преподаватель военных наук Николаевской военной академии. Подполковник (ст. 06.12.1911). С 14 марта 1914 — штаб-офицер, заведующий обучающимися в Николаевской военной академии офицерами. В Санкт-Петербурге был одним из организаторов общества ревнителей военных знаний и его секретарем.
В августе 1914 состоял в штабе 2-й армии Самсонова. Вышел из окружения центральных корпусов армии в Комуссинском лесу с группой штаба армии. Полковник (ст. 06.12.1914). С 6 июля 1915 — и.д. начальника штаба 3-й гвардейской пехотной дивизии. С 27 апреля 1916 — командир 151-го пехотного Пятигорского полка.
Правитель дел Николаевской военной академии (назначен в начале 1917). В 1917 — экстраординарный профессор Николаевской военной академии. В июле 1917 в условиях «демократизации» в армии избран начальником Академии.
Участвовал в мирных переговорах с немцами в Брест-Литовске.
В марте 1918 академия была эвакуирована в Казань, где в июле 1918 при занятии Казани частями Народной армии под командованием Каппеля Андогский вместе с большей частью личного состава академии перешёл на сторону белых.
После прихода к власти Колчака Андогский, по не вполне понятным причинам, какого-либо серьёзного назначения в армии не получил, а 26 января 1919 года был отчислен от должности начальника академии с назначением в резерв чинов. Причиной этого было, по-видимому, его сотрудничество с большевиками и участие в Брестских переговорах.
В июне 1919 Андогский был восстановлен в правах начальника академии и с 18 июня 1919 назначен на должность 1-го генерал-квартирмейстера Ставки Главнокомандующего адмирала Колчака. На Андогского возлагалась координация деятельности управлений 1-го генерал-квартирмейстера, главного начальника военных сообщений, полевого инспектора технической части, полевого инспектора артиллерии академии и частично 2-го генерал-квартирмейстера. 12 августа 1919 он занял пост первого помощника начальника штаба Верховного главнокомандующего. 1 октября 1919 оставил эту должность и был зачислен в распоряжение начальника штаба Верховного главнокомандующего.
7 октября 1919 Андогскому была поручена эвакуация академии, начальником которой он оставался по 23 октября 1922, из Томска во Владивосток (на остров Русский). С октября 1921 — преподаватель Владивостокского военного училища. В 1922 — городской голова Владивостока. Уехал в Японию, где остался после захвата Владивостока красными.
Позже уехал в Манчжурию. С 1923 г. жил в Харбине, где много работал по военным вопросам, читал лекции и писал статьи. Был директором 1-го реального училища, заведующим кафедрой финансового и железнодорожного права в Институте ориентальных и коммерческих наук.
Окончил жизнь самоубийством в 1931 году и был похоронен в городе Харбине на Новом кладбище.