Александр Абрамов родился 20 февраля 1959 года в Краснодаре в небогатой семье..
В 1982 году с «красным дипломом» окончил факультет молекулярной и химической физики Московского физико-технического института.
В 1985 году окончил аспирантуру МФТИ. Защитил диссертацию по теме «Физика и химия плазмы» на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук в Институте высоких температур АН СССР.
С 1985 года работал завлабораторией, затем руководитель коммерческого центра Института высоких температур АН СССР. Научная группа под руководством Абрамова участвовала в разработке проекта создания беспилотного космического корабля многоразового использования «Буран».
В 1992 году, 28 февраля основал с сокурсниками ТОО «Евразметалл» и становится её генеральным директором. Впоследствии, компания была преобразована в «Евразхолдинг».
В Евразхолдинг, через процедуру банкротства вошли Нижнетагильский, Новокузнецкий и Западно-Сибирский металлургические комбинаты.
В 1995 году был председателем совета директоров Нижнетагильского металлургического комбината.
С 1995 по 2005 годы — директор и председатель совета директоров «Группа ЕАМ».
В 1998 году — главный эксперт ЗАО «Феррокс».
С 1998 по 1999 годы — член совета директоров АКБ «Транскредит»[уточнить]. В 1999 году контрольный пакет банка Транскредит выкупили структуры, близкие к главе МПС Николаю Аксененко.
В 1998 году становится членом совета директоров дочерней компании банка «СБС-Агро» Александра Смоленского ЗАО «Инвестиционный банкирский дом „Финансы и промышленность“» (ИК «Финпром»), управляемой «Финпром-холдинг», руководителем которого являлся Олег Бойко. По некоторым данным, Бойко «предоставил Абрамову не только деньги, но и свои обширные связи», «которые помогли успешному металлотрейдеру превратиться в олигарха». По некоторым оценкам 15-20 процентную долю Бойко в «ЕвразХолдинге» Абрамов выкупил лишь в 2004 году.
В 1999—2005 годы — президент горно-металлургического комплекса «Евразхолдинг».
В октябре 2000 года Александр Абрамов был избран членом Совета по предпринимательству при правительстве РФ.
В 2001 году Абрамов входит в состав совета директоров ОАО «Северский трубный завод».
В 2005 году разместил акции Евраз Груп на Лондонской фондовой бирже (капитализация «Евраз Груп» составила 5,1 млрд долларов США).
С 2005 года по 1 января 2006 года — президент Евраз Груп (Evraz Group S.A.).
До 1 мая 2006 года — Председатель Совета директоров Евраз Груп.
1 мая 2006 покинул пост председателя совета директоров Евраз Груп и становится членом Совета директоров без исполнительных полномочий.
В конце декабря 2008 года вернулся на место председателя совета директоров Евраз Груп.
В декабре 2009 года сообщалось, что Александр Абрамов войдёт в состав акционеров созданного Михаилом Прохоровым банка «Международный финансовый клуб» (МФК) вместе с Сулейманом Керимовым и Виктором Вексельбергом. В апреле 2010 года выкупает 19,71 % акций МФК и становится одним из его совладельцев.
В 2010 году получил гражданство Кипра.
13 декабря 2011 в интервью Financial Times выдвинул идею о возможности слияния компании Evraz с ОАО «Северсталь». Согласно элементарным расчётам, объединённая компания может стать восьмой в мире по объёму производства (31 млн т в год) сталелитейной компанией с капитализацией 18,7 млрд долларов. По мнению Абрамова, Evraz и Северсталь хорошо дополняют друг друга. Продукция Evraz широко используется в строительстве, а Северстали — в секторе потребительских товаров и автомобилестроении. Эксперты, однако, неоднозначно оценивают синергетический эффект от объединения. Никаких переговоров по данному вопросу не проводилось. Вероятность такой сделки эксперты оценивают как весьма низкую.
Женат первым браком со студенческих лет. Жена — Светлана Абрамова, также выпускница МФТИ, кандидат физико-математических наук. В семье трое детей — два сына и дочь.