Родился 5 августа 1923 года в селе Анчугово ныне Катайского района Курганской области в семье крестьянина. Русский. Окончил 1 курс Копейского горного техникума в 1941 году.
В июне 1941 года был призван на воинскую службу и направлен в военное училище. В 942 году окочнисл ускоренный курс Челябинского танкового училища и с августа того же года на фронте. Был назначен командиром танкового экипажа, в составе которого участвовал в боях на Калининском фронте. Боевое крещение командир танка 22-й танковой бригады лейтенант Анчугов получил в боях под Ржевом. Подбил фашистский танк, но и сам был ранен.
После лечения в госпитале был направлен в 63-й отдельный танковый полк Воронежского фронта, на базе этого полка позднее была сформирована 242-я танковая бригада. В её составе Анчугов прошёл всю войну. Проявил себя смелым воином и находчивым командиром. В 1943 году за умелые действия в боях на Курской дуге и проявленные при этом мужество и находчивость был награждён орденом Красной Звезды и назначен командиром танкового взвода. За бои по освобождению Украины зимой 1944 года Анчугов был удостоен второго ордена Красной Звезды.
В ночь на 19 июня 1944 года рота 1-го танкового батальона 242-й танковой бригады (31-й танковый корпус, 1-й Укр. фронт) под командованием старшего лейтенанта Анчугова ворвалась в село Ясенов (Бродский район Львовской области) и перерезала шоссе Броды — Львов. Огнем и гусеницами гвардии старший лейтенант Анчугов уничтожил два пулеметных расчета, тягач, восемь подвод с вооружением и 35 вражеских солдат и офицеров. Было подбито несколько фашистских танков.
Через день, выполняя задачу по овладению поселка Олеско и деревни Хватув (Бусский район Львовской области), рота уничтожила 5 противотанковых орудий, 4 тягача и свыше роты гитлеровцев. В разгар преследования отступающего противника командир роты был ранен в голову осколком вражеского снаряда, но продолжал руководить боем.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 23 сентября 1944 года командиру танковой роты за мужество и отвагу, проявленное при разгроме вражеского противотанкового узла под Львовом гвардии старшему лейтенанту Анчугову Александру Галактионовичу присвоено звание Героя Советского Союза, с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда»(№ 4494).
О присвоении высокого звания герой-танкист узнал в оспитале. После выздоровления в январе 1945 года был направлен на учёбу в Высшую офицерскую школу. На фронт больше не вернулся. После Победы продолжил службу в армии. В 1946 году вступил в ВКП(б)/КПСС. С 1956 года гвардии подполковник Анчугов — в запасе.
Жил в городе Иваново. Работал слесарем-механики комбината «Росторгмонтаж». Позднее переехал в город Архангельск. Скончался 1 октября 1979 года. Похоронен в городе Архангельске.
Награждён орденом Ленина, Отечественной войны 2-й степени, двумя орденами Красной Звезды, медалями.