Место рождения Александра Осиповича (при рождении Абрама Иосифовича) Дранкова достоверно неизвестно. Oн родился 18 января 1886 году в Феодосии в многодетной еврейской мещанской семье. Его детство прошло в Севастополе. По воспоминаиям А. Лемберга, Дранков в начале XX века содержал танцкласс в Севастополе, на доходы от которого кормил всю свою семью.
Затем Дранков увлекается фотографией и быстро становится профессиональным фотографом, после чего переезжает в Санкт-Петербург, где добивается удивительной известности и за удачные снимки Николая II даже удостаивается звания «Поставщик Двора Его Императорского Величества». Дранкову также удается существенно удешевить фотопроизводство и открыть целую сеть «элекрофотографий» (не менее 50 студий), где снимки делаются при усиленном электрическом освещении, что приводит к значительной экономии. Впоследствии он также становится фотокорреспондентом лондонской газеты «Times», парижской «L’Illustration» и получает журналистскую аккредитацию при Государственной Думе.
В 1907 году Абрам Дранков решает заняться кинопромышленностью. Он открывает так называемое Ателье А. Дранкова (впоследствии преобразованное в Акционерное общество «А. Дранков и Ко») и начинает снимать хроникальные фильмы (Дранков и работавшие на него операторы оставались обычными участниками всех крупных событий в обеих российских столицах до самой революции), а затем приступает и к съёмкам художественных короткометражных лент — например, он пытается поставить игровую картину «Борис Годунов». Фильм не был закончен, хотя снятые для него материалы демонстрировались в кинотеатрах в том же 1907 году под названием «Сцены из боярской жизни».
Сенсационным успехом Дранкова на почве документалистики становится первая киносъёмка Льва Николаевича Толстого (1908).
Первой вышедшей на экран художественной кинолентой производства Дранкова стал фильм «Понизовая вольница» («Стенька Разин»), премьера которого состоялась 15 (28) октября 1908 года. «Вольница» была также первым фильмом в русской истории, показ которого сопровождался оригинальным звуком: вместе с плёнкой кинотеатры приобретали также граммофонную запись музыки, написанной Н. М. Ипполитовым-Ивановым для постановки одноименной пьесы Василия Гончарова в театре «Аквариум» — и первым случаем нарушения кинопроизводителем авторских прав (Дранков не заключил формальный договор ни с автором сценария, ни с автором музыки). Следующим фильмом ателье Дранкова стала первая российская кинокомедия «Усердный денщик» (1908). Дранков также придумывает новый вид кинорекламы — он выпускает открытки с кадрами из своих фильмов и помещает сцены из фильмов на афишах, чего до него не делал никто в мире.
Начало деятельности в российском кино Александра Ханжонкова вызвало острую ревность Дранкова. Познакомившись с Ханжонковым и узнав о его планах поставить фильм «Песнь про купца Калашникова», Дранков начинает готовить для этого фильма «срыв» (то есть упреждающий выпуск заведомо провального фильма с тем же названием). Ханжонков, получив информацию о намерениях Дранкова, ускоряет производство своей ленты и успевает вывести её на рынок прежде, чем будет готов конкурирующий фильм. После этого на протяжении десятилетия конкуренция Ханжонкова и Дранкова была одной из основных интриг российской кинематографической жизни, периодически приводившей к появлению в прокате почти одинаковых картин — например, «Воцарение Дома Романовых» производства Ханжонкова и «Трёхсотлетие царствования дома Романовых» производства Дранкова (оба — 1913). В том же, 1913-м, году принял крещение именем Александр ?Осипович.
Дранков первым в России приступил к выпуску отечественных детективных киносериалов, которые тем временем уже вошли в моду во Франции. Снятый в его ателье многосерийный фильм «Сонька — Золотая Ручка» (1914—1915) пользуется беспрецедентным успехом у массовой публики.
В 1917 году Дранков сначала пытается заработать на теме революции и выпускает несколько «революционных» фильмов — например, «Георгий Гапон», «Бабушка русской революции» (оба — 1917), — но после октябрьского переворота решает оставить Петербург. События следующего периода его жизни достоверно неизвестны — по противоречивым воспоминаниям его знакомых, он возвращается на юг, пытается спекулировать драгоценностями в Киеве, затем занимается в Ялте съёмкой порнографических фильмов. В ноябре 1920 года он эмигрирует в Константинополь, где зарабатывает, по одним сведениям, организацией тараканьих бегов, а по другим — кинопрокатом и содержанием парка аттракционов. В 1922 году он перебирается в США, где покупает передвижную киноустановку и организовывает кинопоказы в русских общинах. В 1927 году пытается вернуться в кинобизнес, но его намерение снять масштабный фильм о любви Николая II и балерины Матильды Кшесинской заканчивается крахом.
После неудачной попытки утвердиться в Голливуде Дранков открывает кафе в городке Венис (Калифорния), а спустя некоторое время переселяется в Сан-Франциско, где до конца своих дней работает в собственной компании «Фото-тон сервис» (фирма печатала фотоснимки, а также продавала фотопринадлежности).
Скончался 3 января 1949 года в 19.35 в возрасте 62 лет 11 месяцев и 19 дней от инфаркта миокарда. Похоронен в Колме (предместье Сан-Франциско, Калифорния).