Александр начал профессиональную карьеру в 1966 году в «Торпедо». В том сезоне он сыграл 6 матчей. В следующем году он сыграл уже 30 матчей, забив два гола. В 1968 году «автозаводцы» заняли третье место в чемпионате, выиграли Кубок СССР, а сам Чумаков получил вызов в сборную. Сыграл он в том сезоне 37 матчей и забил 2 гола. Также в этом году он сменил позицию защитника на полузащитника. В 1969 провёл 24 игры в чемпионате, а в следующем из-за травмы всего 8. Сезон-1971 стал последним в котором он выступал. В 1972 году Александр Чумаков завершил карьеру. До 1974 года играл за дубль «Торпедо».
Дебютировал за сборную СССР 16 июня 1968 года в товарищеском матче против Австрии.
Итого: 3 матча; 2 победы, 0 ничьих, 1 поражение.