Александр Борисович Куракин родился в Москве. В 1764 году он переехал в Санкт-Петербург в связи со смертью его отца — Бориса Александровича Куракина. Там он познакомился с Великим князем Павлом Петровичем, будущим императором Павлом I, и оставался одним из его близких друзей. Эта дружба, тем не менее, не встретила одобрение у правившей тогда Екатерины II. Это привело к тому, что Куракин был выслан из Петербурга. Он решил выбрать место на время вдали от Петербурга. И этим местом стало село Борисоглебское Сердобского уезда Саратовской губернии (ныне Сердобский район Пензенской области). Затем Александр Борисович построил там свою роскошную усадьбу и переименовал село в Надеждино (название ассоциируется с его внутренним состоянием души — надеждой на возвращение в Петербург) - ныне с.Куракино. Куракин прожил в своем новом пристанище 8 лет.
После смерти Екатерины II Куракину было позволено вернуться в Санкт-Петербург и продолжить свою карьеру. В 1796 он становится Вице-канцлером.
Во время правления императора Александра I Куракин был назначен послом России в Вене (с 1806 года), и в Париже (с 1808 года). Он принял активное участие в подписании Тильзитского мирного договора.
В 1810 он писал многочисленные донесения царю Александру, предупреждая его относительно неизбежности войны с Францией. После последней неудачной попытки урегулировать русско-французские отношения на его встрече с Наполеоном 15 апреля 1812 года и последовавшего начала вторжения в Россию, Куракин покинул пост посла.
Александр Борисович Куракин умер 24 июня 1818 года в городе Веймар.
1782—1799 — Невский проспект, 15.
Александр Борисович Куракин явился основателем русского баронского рода Вревских.
Во время жизни в Париже Куракин прославился как «алмазный князь» из-за великолепия и богатства его костюмов. Интересно, что один из таких костюмов фактически спас ему жизнь во время пожара, который случился во время бала, данного австрийским послом Шварценбергом 1 июля 1810 года. Когда начался пожар, Александр Куракин был сбит с ног толпой, но его богато украшенный камзол защитил своего обладателя от высокой температуры. Тем не менее, он получил серьёзные ожоги и был прикован к постели в течение нескольких месяцев.
Также Куракин ввёл в моду (в Европе) привычный нам способ сервировки блюд, названный позднее «service ? la russe» (русская сервировка), который заключается в постепенной подаче блюд в порядке их расположения в меню. Этот новый способ постепенно вытеснил сервировку по методу «всего сразу», использовавшемуся ранее и называемому «service ? la fran?aise» (французская сервировка, «французская система»).