А. Ф. Борисов родился 18 апреля (1 мая) 1905 года в Санкт-Петербурге в семье рабочего. Участвовал в любительских спектаклях. В 1927 году по окончании студии при Ленинградском академическом театре драмы (учился у Ю. М. Юрьева) был принят в театр-студию, в 1928 году в основную труппу театра.
В 1930 году сыграл свою первую крупную роль — инженера Бориса Волгина («Чудак» А. Н. Афиногенова), создав образ жизнерадостного, целеустремлённого человека. Уже в этой роли определилось большое дарование молодого актёра, его непосредственность, эмоциональность. Правдивый, жизнеутверждающий образ Волгина — инициатора «первой бригады энтузиастов производства» — открыл галерею героев современности, созданную Борисовым.
Убедительно раскрывались артистом героизм, стойкость, душевная красота, скромность, идейность советского человека. Предельной ясностью и простотой было отмечено исполнение Борисовым роли бойца Степана («Победители» Б. Ф. Чирскова, 1946). Борисов внёс в этот образ юмор, озорное лукавство, большую жизненную мудрость. Умение актёра раскрыть в простых будничных событиях романтику, героизм ярко проявилось в образе Павла Корчагина («Как закалялась сталь» Н. А. Островского, 1947). Многогранен, полнокровен у Борисова образ партийного работника Чеканова («Высокая волна» Г. Е. Николаевой и С. А. Радзинского, 1952). Мудрость, простоту, подлинный демократизм советского государственного партийного деятеля показал Борисов в сценическом образе М. И. Калинина («Жизнь в цвету» А. П. Довженко, 1947). Обаятельны созданные актёром образы Семёна Котко («Шёл солдат с фронта» В. П. Катаева, 1938), Котова («На берегу Невы» К. А. Тренёва, 1937), Рекало («За тех, кто в море» Б. А. Лавренёва, 1946). Верой в человеческое достоинство, нравственной чистотой, одухотворённостью проникнуты образы, созданные Борисовым в пьесах русской классики: Мелузов («Таланты и поклонники» А. Н. Островского, 1943), Гаврила («Горячее сердце» А. Н. Островского, 1951).
В роли Аркашки Счастливцева («Лес» А. Н. Островского, 1948) Борисов, не отказываясь от комедийных красок, в то же время показывает бесправность, одиночество маленького, униженного жизнью человека. Большой трагической силой, глубоким постижением социальной сущности характера отмечен созданный Борисовым образ Кисельникова («Пучина» А. Н. Островского, 1955). В ролях Самозванца («Борис Годунов» А. С. Пушкина, 1935), царевича Фёдора («Великий государь» В. А. Соловьёва, 1945), Кривохатского («Одна ночь» Б. Л. Горбатова, 1956) Борисов проявил себя как острохарактерный актёр.
В годы Великой Отечественной войны Александр Борисов и актёр театра Пушкина К. И. Адашевский создали на радио образы весёлых бойцов-разведчиков Козьмы Ветеркова и Ильи Шмелькова. Передачи с участием этих персонажей, называвшиеся «Огонь по врагу», получили широкую популярность.
С 1937 года Александр Борисов начал сниматься в кино: Павлов («Академик Иван Павлов»), Мусоргский («Мусоргский»), Рыбкин («Александр Попов»).
А. Ф. Борисов умер 19 мая 1982 года, (по другим источникам - 12 мая). Похоронен в Ленинграде на Литераторских мостках Волковского кладбища.
1956—19.05.1982 — улица Куйбышева, 1.