Алекс Белл родился в Кейптауне, Капская колония, в семье шотландцев. Начал играть в футбол на позиции центрального нападающего за различные клубы Эйра, включая «Эйр Спринг Вейл», «Эйр Уэстерли» и «Эйр Паркхаус». Выступая за последний из них, Белл привлёк внимание бывшего хавбека «Ньютон Хит» Уилла Дэвидсона, который сообщил о талантливом футболисте в «Манчестер Юнайтед».
В январе 1903 года Белл перешёл в «Юнайтед» за ?700. Прошло менее года с момента формирования «Манчестер Юнайтед» из обанкротившегося «Ньютон Хит». На тот момент «Юнайтед» всё ещё выступал во Втором дивизионе, но уже в 1906 году клуб вышел в Первый дивизион.
Поначалу он пытался закрепиться в команде на позиции центрального нападающего, но редко получал место в основе, сыграв лишь 11 матчей за свои первые два сезона в клубе. Но в 1904 году в «Юнайтед» началась эпидемия травм в средней линии поля, и Белл стал играть в основном составе на позиции хавбека. На своей новой позиции он выступал гораздо убедительнее, и стал основным левым хавбеком команды, сформировав мощное трио в центре поля с Чарли Робертсом и Диком Даквортом.
Сыграв за «Юнайтед» 309 матчей, в которых он забил 10 голов, а также выиграв два чемпионских титула Первого дивизиона (в сезонах 1907/08 и 1910/11) и Кубок Англии (в 1909 году), Белл был продан в «Блэкберн Роверс» за ?1000 июле 1913 года. Ему удалось сыграть лишь несколько матчей за «Блэкберн», так как вскоре началась Первая мировая война, во время которой футбольные соревнования в Англии не проводились. В 1921 году Белл перешёл в шотландский «Клакманнан», в котором провёл всего один сезон, после чего принял решение о завершении карьеры игрока и перешёл в тренерский штаб «Ковентри Сити». Его последним футбольным клубом стал «Манчестер Сити», в котором работал в тренерском штабе с 1925 года до самой смерти в 1934 году.
Имя Алекса Белла было увековечено его бывшим одноклубником по «Юнайтед» Чарли Робертсом, который после завершения карьеры стал владельцем табачной фабрики и создал марку сигарет под названием «Дакробел» (Ducrobel) в честь знаменитого трио хавбеков «Юнайтед» Дакворта, Робертса и Белла.
В марте 1912 года Белл сыграл свой первый и единственный матч за национальную сборную Шотландии во встрече со сборной Ирландии. Шотландия выиграла со счётом 4:1.
Манчестер Юнайтед
Блэкберн Роверс