Александр Аркадьевич Файнберг родился 2 ноября 1939 года в Ташкенте, куда его родители переехали из Новосибирска в 1937 году. После окончания семилетней школы Александр Файнберг поступил на учебу в Ташкентский топографический техникум. После окончания техникума служил в армии в Таджикистане. Затем окончил Ташкентский университет, где учился на заочном отделении журналистики филологического факультета, и работал в студенческой многотиражке. В 1961 году женился на И. Г. Коваль.
А. А. Файнберг был членом Союза писателей Узбекистана.
Он являлся автором пятнадцати книг стихотворений (включая посмертно вышедший двухтомник, составленный автором), а также по его сценариям было поставлено четыре полнометражных художественных фильма и более двадцати мультипликационных фильмов. Им были переведены на русский язык стихотворения и поэмы Алишера Навои и многих современных узбекских поэтов. Его стихотворения печатались в журналах «Смена», «Юность», «Новый мир», «Звезда Востока», «Новая Волга» и в периодике зарубежных стран: США, Канады и Израиля.
В 1999 году к двадцатилетию трагической гибели в авиакатастрофе футбольной команды «Пахтакор» по его сценарию был снят фильм «Их стадион в небесах», в котором звучит песня на слова Александра Файнберга о пахтакоровцах 1979 года.
В течение нескольких лет А. А. Файнберг руководил в Ташкенте семинаром молодых писателей Узбекистана.
В 2009 году А. А. Файнберг Указом президента России награжден Пушкинской медалью за большой вклад в развитие культурных связей и сохранение русского языка и русской культуры.
Умер Александр Аркадьевич Файнберг 14 октября 2009 года в Ташкенте.