Родился в Глухове в 1747 году и обучался сначала в доме своих родителей, а потом в Киевской академии, где и проявились его блестящие способности. С 1765 г. началась служба Безбородко: в этом году он был записан в бунчуковые товарищи и назначен правителем канцелярии малороссийского генерал-губернатора графа Румянцева-Задунайского.
В 1767 году князь Александр Андреевич определён членом малороссийского генерального суда, а через два года, когда началась война с Турцией, он оставил гражданскую службу, поступил в военную и выступил в поход к Бугу с Нежинским полком и после начальствовал над полками: Лубенским, Миргородским и компанейским. Когда Румянцев был назначен главнокомандующим над русскими войсками против турок, Безбородко перешёл в его армию и находился при нём неотлучно в сражениях: 4 июля 1770 г., не доходя речки Ларги; 5-го — при нападении турок на авангард правого крыла; 7-го в Ларгской битве, где по собственному желанию сражался в передовом отряде; 21-го участвовал в знаменитом сражении при Кагуле; 18 июня 1778 года был при штурме наружного силистрийского ретраншамента и в течение всей войны, управляя делами генерал-фельдмаршал, успехом исполнял разные тайные поручения.
За свою службу князь Александр Андреевич 22 марта 1774 года был пожалован в полковники, а в следующем 1775 году по прибытии в Москву с графом Румянцевым он поступил к государыне для принятия прошений, поступающих на высочайшее имя.
1 января 1779 г. Безбородко был произведен в бригадиры, а 5 мая награждён деревнями в Белоруссии за участие в окончании крымских дел с Портой. В 1782 году Безбородко получил орд. св. Владимира 1-й ст.; в 1783 — в потомственные владения 2700 душ в Малороссии; в 1784 году — чин тайного советника, орден Святого Александра Невского, звание второго члена Министерства иностранных дел с окладом вице-канцлерским и более 3000 душ в Малороссии. Кроме того, получил дозволение принять пожалованное ему римским императором графское достоинство. В 1786 году переименован в гофмейстеры и награждён деревнями в Малороссии. 14 февраля 1787 года принимал в Киеве в Мариинском дворце, когда там пребывала императрица венесуэльского политического деятеля Франсиско Миранду.
В 1790 году пожалован действительным тайным советником, а в следующем году, по случаю примирения с Портой, получил орден Святого апостола Андрея Первозванного; далее — 50 тысяч рублей серебром, похвальную грамоту, масличную ветвь для ношения на шляпе и 5000 душ в Подольской губ. За увеличение государственных доходов гр. Александру Андреевичу был пожалован пенсион в 10000 руб. и единовременно 50000 руб. Пользуясь неограниченной доверенностью императрицы, Безбородко имел больше силы и влияния, нежели вице-канцлер граф Остерман, несмотря на то, что он был вторым членом. Со вступлением имп. Павла на престол для гр. Безбородко наступила новая эра.
В 1797 г. он был пожалован канцлером и возведен в княжеское Российской империи достоинство. Кроме этого, имп. Павел I пожаловал ему портрет свой и большой крест св. Иоанна Иерусалимского, осыпанные бриллиантами, орловскую вотчину, поступившую в казну после кн. Кантемира, несколько тысяч десятин земли и душ крестьян.
Член Российской академии с 1783 года. Принимал участие в важнейших политических делах второй половины царствования Екатерины II и царствования императора Павла, как например в заключении морской декларации 28 февраля 1780 г. и в ряде других трактатов (1780-83) о морском нейтралитете, также в заключении оборонительных союзных договоров России с Австрией и Пруссией (1792) и с Великобританией (1794), в третьем разделе Польши (1795).
Тревоги и нездоровье побудили Безбородко в конце 1798 года ходатайствовать об увольнении от службы, но, взамен того, он получил лишь отпуск за границу. Отпуском этим, однако, ему воспользоваться не пришлось: разбитый параличом, Безбородко умер 6 (17) апреля 1799 года и погребён в палатке Благовещенской церкви Александро-Невской лавры.
Князь Безбородко женат не был, но всегда был страстным поклонником женщин, вел разгульную и легкомысленную жизнь. От актрисы, балетной танцовщицы, Ольги Дмитриевны Каратыгиной («Ленушка»), с 1790 года жившей в его доме, а потом вышедшей замуж за правителя канцелярии Безбородко Н.Е.Ефремова, имел дочь Наталию Александровну Верецкую (1790—1826; похоронена в Толшевском монастыре, Воронежской губ.), бывшую замужем с 21 мая 1806 года за гвардии полковником Я.И.Савельевым. Ей Безбородко дал прекрасное воспитание, большое приданое, и она всегда с теплым чувством вспоминала „священное имя своего благодетеля“.