Родился 10 октября 1915 года в деревне Пузовка Тотемского района Вологодской области. После окончания начальной школы работал на велосипедном заводе в Пензе.
В Красной Армии с 1937 года, участник Советско-финской войны 1939—1940 годов.
Александр Александрович Игошев отличился в бою 29 февраля 1940 года. Он вместе с командиром взвода управления батареи поднял в атаку роту и, увлекая за собой, первым из разведчиков и группы бойцов стрелкового взвода ворвался в траншею противника, обеспечив наступление батальона.
После окончания Советско-финской войны А. А. Игошев продолжает службу в армии и был направлен в Пензенское военное артиллерийское училище, которое закончил в 1941 году.
С началом Великой Отечественной войны был направлен на Ленинградский фронт командиром батареи. Тяжелораненым был захвачен в плен, неоднократно предпринимал попытки бегства из лагеря.
Вернулся на родину только в 1945 году. Умер 19 августа 1961 года в Пензе.