Окончил консерваторию в Буэнос-Айресе, где учился у Карлоса Лопеса Бучардо; уже в 1940-е гг. занимался в США у Аарона Копленда. Из-за постоянных конфликтов с аргентинским правительством с 1971 г. жил в Женеве вместе с женой, виолончелисткой Авророй Натола-Джинастера.
Начал сочинять музыку около 1930 г., но первые сочинения уничтожил; первым номером в авторской нумерации произведений стоит балет «Панамби» (1937), обычно исполняющийся в качестве оркестровой сюиты. В ранних произведениях Джинастера интенсивно использовал народные мелодии, что во многом и принесло ему славу и популярность на родине. Однако затем музыка Джинастеры стала носить более сложный и экспериментальный характер, а темы его произведений стали более острыми. Поэтому начиная с 1960-х гг. успех сочинений Джинастеры был связан скорее с североамериканскими и европейскими исполнениями: так, первая опера Джинастеры «Дон Родриго» была холодно встречена на премьере в Буэнос-Айресе (1964), но вызвала сенсацию в нью-йоркской постановке 1966 г., став для исполнителя главной партии Пласидо Доминго одной из первых ступеней к мировой славе. Вторая опера Джинастеры «Бомарцо» (1967) по одноименному историческому роману Мануэля Мухики Лайнеса и вовсе была запрещена в Аргентине как непристойная, ее премьера с успехом состоялась в Вашингтоне. Там же прошла премьера его третьей оперы «Беатриче Ченчи» (1971).
Похоронен на женевском кладбище Королей (кладбище Пленпале).
В качестве музыкального педагога Джинастера основал Консерваторию Ла-Плата (1948), где работал до 1958 г.; у Джинастеры, в частности, учились Астор Пьяццола и Херардо Гандини.
Известность Джинастеры за пределами круга поклонников академической музыки связана, прежде всего, с аранжировками группы «Эмерсон, Лейк и Палмер», начиная с «Токкаты» (финала первого фортепианного концерта Джинастеры), вошедшей в альбом «Brain Salad Surgery» (1973). Кит Эмерсон приезжал в Женеву, чтобы познакомить композитора с аранжировкой, и Джинастера воскликнул по-испански: «Дьявольщина!» — так что обескураженный Эмерсон был уже готов отказаться от своей работы, пока жена Джинастеры не вмешалась и не объяснила по-английски, что композитор имел в виду, напротив, высокую оценку его работы, поскольку и хотел своей музыкой вызвать именно такой устрашающий эффект. В дальнейшем Эмерсон работал и с другими произведениями Джинастеры.