Гудмундссон начал свою карьеру в молодежном составе клубе Валюр. В 1944 году он уезжает в Шотландию, для изучения бизнеса в Колледже Скерри, который находится в Глазго, в этом же городе он начал свою профессиональную карьеру, выступая за местный «Рейнджерс». В 1945 году он переходит в лондонский Арсенал, сыграв несколько товарищеских матчей и 2 игры чемпионата в октябре 1946. Гудмундссон стал вторым игроком-небританцем, который выступал за Арсенал, после голландца Геррита Кейзера.В товарищеском матче против парижского Расинга, Гудмундссон приглянулся французской команде, которая хотела заключить с ним контракт. Гудмундссон не смог получить Разрешение на работу в Англии, а потому ему пришлось искать работу в другом месте. Он переезжает во Францию, но выступать не за Расинг, а за Нанси, в первый же сезон став лучшим бомбардиром, а также забив два гола в Кубке Франции. В 1948 году Гудмундссон переходит в Милан, но сыграв лишь 14 матчей, ломает колено в игре с Лацио, травма могла поставить крест на карьере футболиста, но на Апеннинах нашёлся врач, готовый провести трудную операцию. Однако врач этот работал в извечном сопернике Милана, Интере, а потому руководство Милана отказало в проведении операции. Гудмундссону пришлось выкупить свой контракт у Милана и лечь на операцию, которая прошла удачно. После восстановления Гудмундссон возвращается во Францию и играет там до 1954 года, затем возвращается в Исландию, где доигрывает последний сезон, прежде чем повесить бутсы на гвоздь.
В 1967 году Гудмундссон награждается Серебряным значком Футбольной ассоциации Исландии, а на следующий год его избирают на пост президента этой ассоциации, который он занимает до 1973 года. По окончании президентства его награждают Золотым значком ассоциации.
После окончания карьеры, Гудмундссон начал делать карьеру бизнесмена, как оптовый продавец французской женской одежды. Его дело стало популярным и он расширил дело, продавая различные виды товаров, привезённые, главным образом, из Франции. Он присоединяется к партии Независимости Исландии и в 1970 году избирается членом совета Рейкьявика, занимая этот пост до 1986 года.
В 1974 году, после ухода с поста президента Футбольной Ассоциации Исландии, он баллотируется и избирается в Альтинг от Рейкьявика. В 1983 году он становится министром финансов, а 1985 — министром промышленности, пост, который он занимает до 1987 года, когда налоговый скандал вынудил его подать в отставку. Чувствуя отсутствие поддержки от руководства Партии Независимости, он, за несколько недель до всеобщих выборов, создает свою партию — Гражданская партию и служит её председателем до 1989 года. Патия была правоцентристской и получила 10,9 % голосов на выборах 1987 года, делегировав, таким образом, 7 человек в парламент, включая сына Альберта Гудмундссона, Инги-Бьорна Альбертссона, который так же играл нападающим в сборной Исландии в 70-х. Бывшая же партия Гудмундссона, Партия Независимости получила 27,2 % голосов, что стало худшим результатом в её истории.
В 1989 году Гудмундссон был назначен постоянным послом во Францию, где работал до 1993 года. Ранее он был генеральным консулом Франции в Исландии с 1962 по 1989.
Умер Альберт Гудмундссон 7 апреля 1994 года.