Альберт Леман родился в городе Вольске Саратовской губернии в семье музыкантов. С семи лет обучался игре на фортепиано. С 12 лет работал тапёром в кинотеатрах, аккомпанируя сеансам немого кинематографа.
В 1935 году Леман поступил в Ленинградскую консерваторию на композиторский факультет в класс профессора М. Ф. Гнесина, с 1936 года обучался также на факультете специального фортепиано у профессоров Голубовской и Нильсена. По инструментовке Леман прошёл курс обучения у Дмитрия Шостаковича.
Будучи студентом консерватории, Альберт Леман был принят в Союз композиторов СССР. В студенческий период он сочинил романсы на стихи Лермонтова, цикл песен на стихи Глобы, детский балет «Три толстяка», множество других камерных произведений. На дипломных экзаменах Альберт Леман представил Симфонию, Фортепианный концерт (в собственном исполнении), вокальные произведения.
В 1941—1942 годах Альберт Леман — зав. отделом Управления по делам искусств в Ленгорисполкоме. В 1942 году был эвакуирован из Ленинграда в Казань. С 1942 по 1970 годы Леман прожил в столице Татарстана. Деятельность Лемана как педагога и композитора в этот период связана с Казанью.
В 1945 году состоялось открытие Казанской консерватории. Альберта Лемана пригласили в неё преподавать по двум специальностям — композиции и фортепиано. Через некоторое время Альберт Семёнович стал проректором консерватории.
Альберт Леман является одним из создателей татарской композиторской школы. Он воспитал множество учеников в Казани — таких, как композиторы Шамсутдинов, Бакиров, Валиуллин, пианисты Ахметова (ставшая впоследствии профессором Казанской консерватории), Александр Стецюк и Захарова.
Член КПСС с 1964 г.
В 1970 году Альберт Семенович переехал в Москву, где работал в Московской консерватории как профессор и заведующий кафедрой композиции (до 1997 года). Именно на его темы писали свои вступительные вариации или пассакалии (один из приёмных экзаменов на факультет композиции) абитуриенты Московской консерватории. Среди его учеников — София Губайдуллина, Глеб Седельников, Михаил Коллонтай, Дмитрий Чеглаков, Антон Буканов и другие.
На протяжении всей жизни Альберт Леман сочинил множество музыкальных произведений.
Среди его сочинений можно выделить следующие:
Умер Альберт Леман в 1998 году в Москве. Похоронен в Санкт-Петербурге.