Рикман родился 21 февраля 1946 года в Хаммерсмите (Лондон). Когда ему было восемь лет, в семье произошло несчастье — умер отец, и мать осталась одна с четырьмя детьми. Алан с детства осознавал, что в жизни можно рассчитывать только на себя, и старательно учился. За успехи в школе Рикман получил стипендию престижной лондонской школы Latimer. В этой же школе он впервые вышел на сцену в любительской постановке.
Окончил университет Chelsea College Of Art And Design в 1967-м. После завершения образования Алан и пятеро его друзей открыли дизайн-студию в Сохо. Предприятие не приносило хороших денег. В 26 лет Рикман бросил дизайн, решив стать актёром, и поступил в Королевскую академию драматического искусства. Он получил несколько премий за постановки, а также королевскую стипендию.
Первая главная роль в театральной постановке — виконт де Вальмон («Опасные связи»). С 1985 по 1987 годы спектакль шёл в Англии, а затем был показан на Бродвее, и имел большой успех. Эта роль предопределила карьеру Рикмана в кино. После премьеры спектакля в Нью-Йорке в гримёрку к Рикману пришли продюсеры Джоэль Сильвер и Чарльз Гордон. Впечатлённые созданным им на сцене образом, они предложили Рикману вторую роль в проекте «Крепкий орешек» вместе с Брюсом Уиллисом. Фильм вышел на экраны в 1988 году. Следующая роль в фильме «Робин Гуд: Принц воров» (1992) укрепила представление о том, что Рикман очень хорошо играет злодеев.
Первую «положительную» роль ему дали в мелодраме «Искренне, безумно, сильно» (1991). Самая романтическая роль Рикмана — полковник Брэндон в экранизации романа Джейн Остин «Разум и чувства» (1995).
В 1996 году Рикман сыграл главную роль в фильме «Распутин», за которую получил премии «Золотой глобус» и «Эмми».
В 1997 году Алан попробовал себя в роли режиссёра. Он поставил спектакль, а затем снял фильм «Зимний гость» по пьесе Шарман МакДональд. Дебют оказался успешным, картина была отмечена двумя премиями во время премьеры на Венецианском кинофестивале.
В 2004 году Рикман взялся за постановку пьесы «Меня зовут Рэйчел Кори» о жизни американской активистки, выступавшей против израильского присутствия на западном берегу реки Иордан и войны в Ираке, погибшей под гусеницами израильского бульдозера. Спектакль был выпущен осенью 2005 года в Лондоне.
Многие поклонники Алана Рикмана считают одной из самых важных составляющих его успеха голос. Помимо необычного тембра, актёр владеет идеальным английским произношением и своеобразной манерой речи.
Среди зрителей и критиков неоднократно высказывалось мнение, что именно голос Рикмана придал его герою профессору Северусу Снеггу из экранизации романов Дж. К. Роулинг о Гарри Поттере особый шарм. Поттеромания привлекла повышенное внимание к нему со стороны фанатов Снегга. Многие считают, что эту роль нужно было отдать более молодому претенденту. Но при кастинге сама Роулинг одобрила приглашение актёра. В интернет-опросе 2011 года, устроенном MTV, за Алана Рикмана в роли Снегга проголосовали 7,5 миллионов человек. В качестве награды актёру был вручён памятный кубок на премьере заключительной части фильма «Гарри Поттер и Дары Смерти» в Лондоне.
В 2006 году Рикман сыграл одну из главных ролей в фильме «Снежный пирог», а также роль купца в экранизации романа П. Зюскинда «Парфюмер. История одного убийцы». В 2007 году исполнил роль судьи Тёрпина, антагониста главного героя, в фильме Тима Бёртона «Суини Тодд, демон-парикмахер с Флит-стрит». В 2010-м озвучил синюю гусеницу в мультфильме «Алиса в Стране Чудес». В том же году вышел телевизионный фильм «Песня ланча» (англ. The Song of Lunch) по одноимённому стихотворению Кристофера Рида (англ. Christopher Reid).
21 ноября 2011 года на Бродвее состоялась премьера фееричной комедии «Семинар», в которой Рикман сыграл Леонарда — талантливого писателя, дающего частные уроки мастерства.
Не женат, с 1965 года живёт вместе с Римой Хортон в Лондоне, детей нет.