Родился в селе Христиановское Горской АССР (ныне — город Дигора в Северной Осетии) в семье крестьянина. Осетин - дигорец. Окончил начальную школу. Работал в колхозе.
В августе 1942 года призван в ряды Красной Армии. Воевал на Северо-Кавказском фронте. За боевые подвиги в ходе битвы за Кавказ был награжден медалями «За боевые заслуги» и «За оборону Кавказа», повышен в звании до гвардии сержанта.
3 ноября 1943 года командир отделения 6-го гвардейского стрелкового полка комсомолец гвардии сержант А. М. Абаев в бою за расширение плацдарма на Керченском полуострове в районе селения Маяк, ныне в черте города Керчь, под сильным ружейно-пулемётным огнём противника первым поднялся в атаку. Воодушевлённые примером командира, гвардейцы ворвались в расположение врага и выбили его из окопов. В этом бою гвардии сержант А. М. Абаев уничтожил 40 и захватил в плен 6 фашистов, обеспечив успех подразделения.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 16 мая 1944 года за мужество и героизм, проявленные при форсировании Керченского пролива, захвате и удержании плацдарма гвардии сержанту Ахсарбеку Магометовичу Абаеву присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 4934).
В 1945 году А. М. Абаев демобилизовался. В 1947 году окончил Орджоникидзевский железнодорожный техникум. Жил и работал в городе Дигора. Член КПСС с 1970 года. Умер 13 мая 1982 года.