Дед и отец Бродского были скрипачами-самоучками. В 1857 году, после смерти матери, семья перебралась в Херсон. Ребёнком Бродского отдали на обучение к оперному концертмейстеру в Одессе.
Окончил Венскую консерваторию (1866) у Йозефа Хельмесбергера-старшего, в сезоне 1868—1869 гг. играл под руководством своего учителя в квартете Хельмесбергера. Потом вернулся в Россию и в 1874—1878 гг. преподавал в Московской консерватории. В 1880 г. в Крыму он обвенчался с Анной Львовной Скадовской (1855—1929), дочерью крупного херсонского землевладельца Льва Балтазаровича Скадовского (1814—1886), сестрой художника Николая Львовича Скадовского (1846—1892) и археолога Григория Львовича Скадовского (1849—1919).
В дальнейшем Бродский жил и работал преимущественно в Европе, преподавал в Лейпцигской консерватории в 1883—1891 гг. и в Манчестерском музыкальном колледже с 1895 г. до самой смерти, а в промежутке провёл три года в США в качестве концертмейстера Нью-Йоркского симфонического оркестра. При этом он широко концертировал как солист и ансамблевый музыкант. 4 декабря 1881 г. впервые исполнил в Вене скрипичный концерт Чайковского, выдержав немалое сопротивление оркестрантов до исполнения и резко отрицательные отзывы критики (прежде всего Эдуарда Ганслика) после; растроганный Чайковский поставил на концерте посвящение Бродскому. Вообще Бродского связывали близкие дружеские отношения с Чайковским, Брамсом и Эдвардом Григом — в новогодние праздники 1888 года все трое встретились в Лейпциге у Бродского, и с этой встречи началась дружба Чайковского и Грига. В американский период Бродский также играл в квартете — вместе с ведущими музыкантами Нью-Йоркского симфонического, в том числе Юлием Конюсом и Антоном Эккингом. Наконец, в манчестерский период квартет под управлением Бродского связывали тесные отношения с Эдуардом Элгаром, написавшим для него струнный квартет Op. 83; в январе 1927 г. Бродский исполнил скрипичный концерт Элгара в ходе празднования 70-летия композитора.
Среди учеников А. Д. Бродского, в частности, Наум Блиндер и Александр Фидельман.