А. П. Скулте родился 15 (28) октября 1909 года в Киеве. В доме семьи А. П. Скулте всегда звучала музыка, его отец, мастер-строитель - умел играть на многих музыкальных инструментах, а мать - итальянка по происхождению - умела играть на фортепьяно. Благодаря атмосфере в семье, Адольф полюбил всё, что связано с музыкой. Родители заметили это и помогли ему освоить основы музыки и уже в возрасте 9 лет он написал свои первые композиции. Его брат Бруно Скулте (1905-1976) также стал известным композитором (он провел свою жизнь в эмиграции).
В 1921 году семья Скулте перебралась жить в Ригу. В подростковом возрасте Адольф много времени посвящал игре на фортепиано и импровизации. По окончании школы он в 1928 году поступил в Латвийский университет на инженерный факультет.
В 1930 году, поступил в Латвийскую консерваторию в класс композиции Язепа Витолса, которую окончил в 1934 году. Его дипломной работой была фортепьянная соната.
После двух лет совершенствования в мастер-классе, в 1936 году был приглашён ассистентом на факультет композиции. С того времени началась педагогическая карьера А. П. Скулте. Среди его учеников композиторы Р. Калсонс, А. Гринупс, Э. Голдштейнс, Р. Гринблатс,И. Калниньш, А. Калейс, И. Земзарис, М. Браунс.
Уже в студенческие годы у него обнаружился интерес к симфонической музыке. Первой работой, благодаря которой имя А. П. Скулте стало известным, была живописная симфоническая поэма «Волны». В конкурсе, который организовало Латвийским радио, Скулте получил премию.
Во второй половине 30-х годов А. П. Скулте много времени уделял педагогическим обязанностям в консерватории. В 1939 году стал доцентом, в 1952 году — профессором. Во время немецкой оккупации вёл курс инструментовки. Первая симфоническое произведение прозвучало на концерте, посвящённом 80-летию Язепа Витолса.
После Второй мировой войны одно за другим появляются всё новые произведения, которые с течением времени не теряли свое привлекательность и получили высокую оценку общественности.
Композитор создал музыку к пьесе Анны Бригадере «Принцесса Гундега и король Брусубард». А позже - оперу на эту же тему. Во многих его произведениях сформировался особый музыкальный стиль, характерный именно для А. П. Скулте. В музыке присутствует особый ритм, свойственный латышскому музыкальному фольклору.
В 1951 году, на празднике, посвящённом 750-ти летию Риги, прозвучала кантата «Рига». Кантата имеет праздничный характер, её исполняют как хоры, так и оркестры. В том же году композитор начал писать свою первую симфонию в «фа» миноре, которая посвящена борьбе за мир. Закончена она была в 1954 году.
А. П. Скулте имеет заслуги и в деле развития латышского балета. Его балет «Сакта свободы», написанный на основе пьесы Яниса Райниса «Играю, танцую», в ряду наиболее удачных произведений композитора. А. П. Скулте написал также «Хореографическую поэму» для симфонического оркестра.
В 1959 году 20 декабря на концерте посвящённом 50-ти летию композитора, впервые прозвучала его симфония «Ave, sol!» для оркестра, хора и солистов. Симфония отображает тему борьбы народа за свободу. Третьей симфонии (1963) автором дано название «Космическая». В 1965 году композитор завершил 4-ю симфонию. Последнюю, Девятую симфонию композитор, тяготевший к программности, создал в 1987 году. Среди камерных опусов А. П. Скулте популярностью пользуется фортепианный цикл «Настроения».
Ряд произведений А. П. Скулте обогатил золотой фонд латышской музыки. Профессор Латвийской консерватории с 1952 года.
Депутат ВС Латвийской ССР 5-го созыва.
А. П. Скулте умер 20 марта 2000 года.