Родился в семье служащего. Еврей. Окончил 6 классов и школу ФЗУ. Работал токарем на заводе «Большевик». Член ВКП(б)/КПСС с 1930 года.
В Военно-Морском Флоте с 1931 года. В 1936 году окончил военно-морское училище. Служил на торпедных катерах Тихоокеанского и Краснознамённого Балтийского флотов. Участник Великой Отечественной войны с июня 1941 года. С экипажем вверенного ему корабля потопил семь вражеских кораблей.
Жил в Ленинграде. Похоронен в колумбарии Петербургского крематория.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 22 июля 1944 года за мужество и героизм, проявленные в борьбе с немецко-фашистскими захватчиками, капитан-лейтенанту Свердлову Абраму Григорьевичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 4026).
Награждён 2-я орденами Ленина, 3-я орденами Красного Знамени, орденом Ушакова 2-й степени (№ 6), 2-я орденами Отечественной войны 1-й степени, орденом Красной Звезды, медалями.
Свердлов, Абрам Григорьевич на сайте «Герои страны»